Question

【题目】已知右焦点为F（c，0）的椭圆M： =1（a＞b＞0）过点 ，且椭圆M关于直线x=c对称的图形过坐标原点．
（1）求椭圆M的方程；
（2）过点（4，0）且不垂直于y轴的直线与椭圆M交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称原点为E，证明：直线PE与x轴的交点为F．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可知：椭圆M： =1（a＞b＞0）焦点在x轴上，

椭圆过点 ，即 ，

椭圆M关于直线x=c对称的图形过坐标原点，

∴a=2c，

由a2=b2+c2，则b2= a2，

解得：a2=4，b2=3，

∴椭圆的标准方程

（2）证明：设直线PQ的方程为：y=k（x﹣4），k≠0，

∴ ，整理得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，

∵过点P0（4，0）且不垂直于x轴的直线与椭圆交于P，Q两点，

∴由△=（﹣32k2）2﹣4（3+4k2）（64k2﹣12）＞0，得：k∈（﹣ ， ），

设P（x1，y1），Q（x2，y2），E（x4，﹣y4），

则x1+x2= ，x1x2= ，

则直线AE的方程为y﹣y1= （x﹣x1），

令y=0得：x=﹣y1 +x1= = = = =1．

∴直线PE过定点（1，0），

由椭圆的焦点坐标为（1，0），则直线PE与x轴的交点为F．

【解析】（1）由题意可知：椭圆M： =1（a＞b＞0）焦点在x轴上，将点 代入椭圆上，即 ，a=2c，则b2= a2，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）设直线PQ的方程为：y=k（x﹣4），k≠0，代入椭圆方程，得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由根的判别式得到k∈（﹣ ， ），由韦达定理及直线的方程代入x=﹣y1 +x1=1，由此能证明直线AE过定点（1，0），由椭圆的焦点坐标为（1，0），则直线PE与x轴的交点为F．