Question

【题目】设,函数.

（1）若无零点，求实数的取值范围；

（2）若有两个相异零点，，求证：.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）通过a的值，利用函数的导数的符号，结合函数的单调性，判断函数的零点，求解即可．（2）利用x1，x2是方程alnx﹣x＝0的两个不同的实数根．得要证：，即证：，即证：，构造函数

，求出导函数；求其最值，推出转化证明求解即可．

（1）①若，则，是区间上的减函数，

∵，，

而，则，即

∴，函数在区间有唯一零点；

②若，，在区间无零点；

③若，令，得，

在区间上，，函数是增函数；

在区间上，，函数是减函数；

故在区间上，的最大值为，由于无零点，

则，解得，

故所求实数的取值范围是.

（2）因为，是方程的两个不同的实数根.

∴

两式相减得，解得

要证：，即证：，即证：，

即证，

不妨设，令，只需证.

设，∴；

令，∴，

∴在上单调递减，∴，∴，

∴在为增函数，∴

即在恒成立，

∴原不等式成立，即.