Question

【题目】如图，在四棱锥中，为正三角形，为线段的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若，求直线与平面所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取的中点，根据中位线可得，在根据垂直关系可证得；根据面面平行的判定定理可证得平面；利用面面平行性质定理证得结论；（Ⅱ）根据线面垂直判定定理可证得平面，从而可以以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果.

（Ⅰ）证明：取的中点，连接，如图所示：

分别为中点

为等边三角形

又

又 平面平面

又平面 平面

（Ⅱ）为正三角形，，

，

连接，，则为的中点

，

又，

又 平面

以为坐标原点，所在直线分别为，轴，建立如图所示空间直角坐标系

则，，，，

，，

设平面的法向量为

，令，则，

设直线与平面所成角为

则直线与平面所成角的正弦值为：