Question

【题目】已知函，其中.

（Ⅰ）若，求曲线在点（2，f（2））处的切线方程；

（Ⅱ）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) y=6x-9 ;(2) 0<a<5.

【解析】

（Ⅰ）当时，代入函数的解析式求得和，进而求得，即切线的斜率为，再利用直线的点斜式方程，即可求解；

（Ⅱ）求出时的值，分和两种情况讨论函数的增减性分别取得和，及和都大于，联立分别求解的解集，取并集，即可得到的取值范围.

（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，f（2）=3；, .

所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9

（Ⅱ）解：.令，解得x=0或x=

以下分两种情况讨论：

若，当x变化时，，的变化情况如下表：

X		0
f’(x)	+	0	-
f(x)		极大值

当等价于

解不等式组得-5<a<5.因此.

(2)若a>2，则.当x变化时，，的变化情况如下表：

X		0
f’(x)	+	0	-	0	+
f(x)		极大值		极小值

当时，f（x）>0等价于即

解不等式组得或.因此2<a<5

综合（1）和（2），可知a的取值范围为0<a<5.