Question

【题目】已知数列满足，对每个正整数，有或.如这个数列可以为1，2，4，6，10….

（1）若某一项为奇数，且不为3的倍数，证明：；

（2）证明：；

（3）若在的前2015项中，恰有t个项为奇数，求t的最大值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1343

【解析】

（1）由am不为偶数，知.

于是，.

假如，则为3的倍数，与已知条件矛盾.

从而，只能是.

故.

（2）由递推关系，易知数列是单调递增的.

因此，当时，.

从而，，即.

由此，.

故

（3）一方面，数列的任意相邻三项至多有两个奇数.

事实上，假如均为奇数，由均为偶数，故根据递推关系知为偶数，矛盾.

因此，在这671组数中，每组至多含两个奇数.

再考虑到为奇数，为偶数，故至多有个奇数，即.

另一方面 ，当数列总满足时，注意到，为奇数，为偶数，故对每个正整数k，由递推关系得为奇数，为奇数，为偶数，此时，数列的前2015项含有1343个奇数.

综上，t的最大值1343.