Question

【题目】（本小题共12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．

（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；

（2）若二面角M-BQ-C为30°，设PM=tMC，试确定t的值.

Answer 1

【答案】（1）∵AD //BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD// BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．

（2）．

【解析】试题分析：（1）∵AD //BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD// BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BQ⊥平面PAD．

∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．

（2）∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD．

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．

则平面BQC的法向量为；，，

，．

设，则，，

∵，

∴， ∴

在平面MBQ中，，，

∴ 平面MBQ法向量为．

∵二面角M-BQ-C为30，

∴．