Question

【题目】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.

(1)求的最大值和最小值；

(2)求y－x的最大值和最小值；

(3)求x2＋y2的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）求得方程表示的圆的圆心和半径，设=k，由题意可得直线y=kx与圆C有交点，可得d≤r，解不等式即可得到所求最值.

(2)设y﹣x=t，由题意可得直线x﹣y+t=0与圆C有交点，可得d≤r，解不等式即可得到所求最值

（3）由几何意义知x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知其在原点与圆心的连线与圆的两个交点处，可得最值.

(1) （1）x2+y2﹣4x+1=0即为（x﹣2）2+y2=3，

表示圆心为C（2，0），半径为r=的圆，

设=k，由题意可得直线y=kx与圆C有交点，

可得≤，解得﹣≤k≤，

即有最小值为﹣，最大值为.

(2) 设y﹣x=t，由题意可得直线x﹣y+t=0与圆C有交点，

可得≤，解得﹣2﹣≤t≤﹣2+，

即有最小值为﹣2﹣，最大值为﹣2+

(3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知其在原点与圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又知圆心到原点的距离为2，

故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4．