Question

【题目】如图，已知等边的边长为4,，分别为边的中点，为的中点，为边上一点，且，将沿折到的位置，使平面平面.

（1）求证：平面平面；

（2）设，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】详见解析.

【解析】

试题分析：（1）首先根据已知条件可证出，再由面面垂直的性质定理并结合平面平面可得出平面，然后再由和可证得，再在正中易证得平面，最后由面面垂直的判定定理即可得出所证的结论；

（2）首先由（1）可知，平面，即为三棱锥底面上的高，然后结合已知可得出，，，进而可得，最后由三棱锥的体积计算公式即可得出所求的结果.

试题解析：（1）因为，为等边的，边的中点，

所以是等边三角形，且.因为是的中点，所以.

又由于平面平面，平面，所以平面.

又平面，所以.因为，所以，所以.

在正中知，所以.而，所以平面.

又因为平面，所以平面平面.

（2）由（1）知，平面，所以为三棱锥底面上的高．

根据正三角形的边长为4，知是边长为2的等边三角形，所以．

易知，．

又由（1）知，所以，

所以，

所以．