Question

【题目】已知函数 ．
（1）试判断f （x）的单调性，并证明你的结论；
（2）若f （x）为定义域上的奇函数，求函数f （x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：f （x）是增函数．

证明如下：函数f （x）的定义域为（﹣∞，+∞），且 ，

任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，

则 ．

∵y=2x在R上单调递增，且x1＜x2，

∴ ，

∴f （x2）﹣f （x1）＞0，即f （x2）＞f （x1），

∴f （x）在（﹣∞，+∞）上是单调增函数

（2）解：∵f （x）是定义域上的奇函数，∴f （﹣x）=﹣f （x），

即 对任意实数x恒成立，化简得 ，

∴2a﹣2=0，即a=1．（也可利用f （0）=0求得a=1）∴ ，

∵2x+1＞1，∴ ，∴ ，∴ ．

故函数f （x）的值域为（﹣1，1）

【解析】（1）f （x）是增函数，利用单调性的定义进行证明；（2）先求出a，再求函数f （x）的值域．
【考点精析】关于本题考查的函数单调性的判断方法和函数奇偶性的性质，需要了解单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇才能得出正确答案．