Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上． （Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；
（Ⅱ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求 的值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵在平行四边形ABCD中，∠BCD=135°，∴∠ABC=45°， ∵AB=AC，∴AB⊥AC．
∵E，F分别为BC，AD的中点，∴EF∥AB，
∴EF⊥AC．
∵侧面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°，
∴PA⊥底面ABCD．
又EF底面ABCD，
∴PA⊥EF．
又∵PA∩AC=A，PA平面PAC，AC平面PAC，
∴EF⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，∴AP，AB，AC两两垂直，
以A为原点，分别以AB，AC，AP为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系如图：
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（﹣2，2，0），E（1，1，0），
∴ =（2，0，﹣2）， =（﹣2，2，﹣2）， ， =（1，1，﹣2）．
设 =λ（0≤λ≤1），则 =（﹣2λ，2λ，﹣2λ），
∴ = =（1+2λ，1﹣2λ，2λ﹣2），
显然平面ABCD的一个法向量为 =（0，0，1）
设平面PBC的法向量为 =（x，y，z），
则 ，即
令x=1，得 =（1，1，1）．
∴cos＜ ， ＞= = ，cos＜ ＞= = ．
∵直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，
∴| |=| |，即 ，
解得 ，或 （舍）．
∴ ．

【解析】（I）由平行四边形的性质可得AB⊥AC，即EF⊥AC，由面面垂直的性质得出PA⊥平面ABCD，故PA⊥EF，故EF⊥平面PAC；（II）以A为原点建立空间直角坐标系，设 =λ（0≤λ≤1），求出平面PBC，平面ABCD的法向量 及 的坐标，根据线面角相等列方程解出λ．
【考点精析】利用直线与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．