《2026年练就优等生课后提分攻略七年级数学全一册人教版》

01 如图 3 - 31 - 1，点 C，D 是线段 AB 上任意两点，点 M 是 AC 的中点，点 N 是 DB 的中点，若 $ AB = a $，$ MN = b $，则线段 CD 的长是(A)

A.$ 2b - a $
B.$ 2(a - b) $
C.$ a - b $
D.$ \frac{1}{2}(a + b) $

答案： 01 A

02 如图 3 - 31 - 2，已知点 C 在线段 AB 上，点 M，N 分别是 AC，BC 的中点。
(1) 如图①，若线段 $ AC = 15 $，$ BC = 5 $，求 MN 的长度。
(2) 如图②，若 $ AC + BC = a $，当点 C 在线段 AB 上移动时，MN 的长度是否改变？若不变，求出 MN 的长度；若改变，请说明理由。
(3) 若题干中“点 C 在线段 AB 上”改为“点 C 是直线 AB 上任意一点”，其他条件不变，当 $ AC = a $，$ BC = b $ 时，线段 MN 的长度会变化吗？若有变化，求出 MN 的长度；若无变化，请说明理由。
(4) 如图③，将题干中“点 M，N 分别是 AC，BC 的中点”改为“点 M，N 分别是 AB，AC 的中点”。若 $ BC = a $，试用含 a 的式子表示线段 MN 的长。

答案：
02解:
(1)
∵点M,N分别是AC,BC的中点，
∴MC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×15=7.5,NC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×5=2.5.
∴MN=MC+NC=7.5+2.5=10.
(2)不变.理由如下:
∵点M,N分别是AC,BC的中点，
∴MC=$\frac{1}{2}$AC,NC=$\frac{1}{2}$BC.
∴MN=MC+NC=$\frac{1}{2}$AC+$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$(AC+BC)=$\frac{1}{2}a$.
(3)线段MN的长度会变化.
①如图①，当点C在线段AB上时，
　　　　　　　　　
由
(2)知MN=$\frac{a+b}{2}$.
②如图②，当点C在线段AB的延长线上时，
　　　　　
∵点M是AC的中点，
∴CM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}a$.
∵点N是BC的中点，
∴CN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}b$.
∴MN=CM−CN=$\frac{a−b}{2}$.
③如图③，当点C在线段BA的延长线上时，
　　　　　
同理可求CM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}a$,CN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}b$,
∴MN=CN−CM=$\frac{b−a}{2}$.
综上所述，线段MN的长度会变化，当点C在线段AB上时，MN=$\frac{a+b}{2}$;当点C在线段AB的延长线上时，MN=$\frac{a−b}{2}$;当点C在线段BA的延长线上时，MN=$\frac{b−a}{2}$.
(4)
∵点M是AB的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AB.
∵点N是AC的中点，
∴AN=$\frac{1}{2}$AC.
∴MN=AM−AN=$\frac{1}{2}$AB−$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$(AB−AC)=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}a$.