《2025年假期生活八年级综合北京教育出版社》

7. 如图,两条公路$OA和OB相交于点O$,在$\angle AOB的内部有工厂C和D$,现要修建一个货站$P$,使货站$P到两条公路OA$,$OB$的距离相等,且到两工厂$C$,$D$的距离相等,用尺规作出货站$P$的位置。(要求：$P在\angle AOB$内部,不写作法,保留作图痕迹,写出结论)

答案：
解:如图:作CD的垂直平分线，∠AOB 的平分线，它们的交点P即为所求.
　　　　　

8. 如图,锐角$\triangle ABC的两条高BD$,$CE相交于点O$,且$OB = OC$。
(1)求证：$\triangle ABC$是等腰三角形。
(2)判断点$O是否在\angle BAC$的平分线上,并说明理由。

答案：

(1)证明:
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
　
∵锐角△ABC的两条高BD,CE相交于点O,
　
∴∠BEC=∠BDC=90°,
　
∵∠BEC + ∠BCE + ∠ABC = ∠BDC + ∠DBC + ∠ACB = 180°,
　
∴∠ABC = ∠ACB.
∴AB = AC.
　
∴△ABC是等腰三角形.
(2)解:连接AO并延长交BC于点F，

　
∵AB = AC,OB = OC,
　
∴AF是BC的垂直平分线，
　
∴∠BAF = ∠CAF,
　
∴点O在∠BAC的平分线上.

9. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB:BC:CA = 3:4:5$,且周长为$36cm$,点$P从点A开始沿AB边向点B以每秒1cm$的速度移动；点$Q从点B开始沿BC边向点C以每秒2cm$的速度移动。如果同时出发,请问$3$秒时,$\triangle BPQ$的面积为多少？

解：设AB=3x cm，BC=4x cm，CA=5x cm。
因为△ABC周长为36cm，所以3x+4x+5x=36，解得x=3。
则AB=9cm，BC=12cm，CA=15cm。
因为9²+12²=81+144=225=15²，即AB²+BC²=AC²，所以△ABC是直角三角形，∠B=90°。
3秒时，AP=1×3=3cm，BQ=2×3=6cm。
所以BP=AB-AP=9-3=6cm。
则S△BPQ=$\frac{1}{2}$×BP×BQ=$\frac{1}{2}$×6×6=18cm²。
答：3秒时，△BPQ的面积为18cm²。

答案： 解：设AB=3x cm，BC=4x cm，CA=5x cm。
因为△ABC周长为36cm，所以3x+4x+5x=36，解得x=3。
则AB=9cm，BC=12cm，CA=15cm。
因为9²+12²=81+144=225=15²，即AB²+BC²=AC²，所以△ABC是直角三角形，∠B=90°。
3秒时，AP=1×3=3cm，BQ=2×3=6cm。
所以BP=AB-AP=9-3=6cm。
则S△BPQ=$\frac{1}{2}$×BP×BQ=$\frac{1}{2}$×6×6=18cm²。
答：3秒时，△BPQ的面积为18cm²。

10. 如图,从电线杆离地面$6m处向地面拉一条长10m$的缆绳,这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有8m远？

答案： 解:BC = $\sqrt{AB² - AC²}$
　= $\sqrt{10² - 6²}$
　= 8(m)
∴缆绳在地面的固定点距离电线杆底部8m.