《2025年暑假作业兰州大学出版社八年级物理北师大版》

8. 如图14-7甲所示,支点为O、长度为L的轻质杠杆的B端挂一重物G,A端用细绳系于地面上,细绳与杠杆间的夹角为30°,已知OA= 2/3L,OB= 1/3L。此时杠杆在水平位置平衡。
(1)请在图14-7甲中画出杠杆左、右两端所受力的示意图和力臂,并证明此时杠杆为等臂杠杆。
(2)如图14-7乙所示,若重物G的质量为1.4kg,细绳能承受的最大拉力为20N,现在O点放一重为8N的滑块P,并使它缓慢向右滑动,g取10N/kg。请计算滑块P向右滑动的最远位置与O点之间的距离(用L表示)。

答案：
解： $(1)$ 如图所示

证明：
已知$OA = \frac{2}{3}L$，根据直角三角形中$30^{\circ}$所对直角边是斜边的一半，可得$F_{A}$的力臂$l_{A}=\frac{1}{2}OA$
将$OA = \frac{2}{3}L$代入$l_{A}=\frac{1}{2}OA$，可得$l_{A}=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}L=\frac{1}{3}L$。
又因为$l_{B}=OB = \frac{1}{3}L$，即$l_{A}=l_{B}$，所以此时杠杆为等臂杠杆。
$(2)$ 根据$G = mg$（$m = 1.4kg$，$g = 10N/kg$），可得$G=mg = 1.4×10N = 14N$。
设滑块$P$向右滑动的最远位置与$O$点之间的距离为$x$。
当细绳拉力$F_{A最大}=20N$时，根据杠杆平衡条件$F_{1}l_{1}=F_{2}l_{2}$，此时$F_{A最大}$的力臂$l_{A}=\frac{1}{3}L$（已证），$G$的力臂$l_{B}=\frac{1}{3}L$，$P$的重力$G_{P}=8N$，力臂为$x$。
由杠杆平衡条件可得$F_{A最大}l_{A}=G_{P}x + Gl_{B}$。
代入数据求解$x$：
将$F_{A最大}=20N$，$l_{A}=\frac{1}{3}L$，$G_{P}=8N$，$G = 14N$，$l_{B}=\frac{1}{3}L$代入$F_{A最大}l_{A}=G_{P}x + Gl_{B}$，得到$20×\frac{1}{3}L=8x + 14×\frac{1}{3}L$。
解得$x=\frac{1}{4}L$。