《2025年暑假生活海燕出版社四年级数学人教版》

暑假乐园
有趣的外角和
三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角叫作三角形的外角。如左图中$∠1$、$∠2$、$∠3$就是三角形的外角。
亲爱的同学们,在数学课上我们研究了三角形的内角和与多边形的内角和。请你想一想：它们的外角和会有什么秘密呢？试着研究一下吧！
探究1：三角形的外角和是多少？即求$∠1$、$∠2与∠3$的和。
探究2：四边形、五边形和六边形的外角和分别是多少呢？

把研究结论填入下表：
|图形|三角形|四边形|五边形|六边形|
|外角和| | | | |

答案：
三角形和多边形的外角和都是$360^{\circ}$。
以三角形为例，如下图:
　　　　　　　　
由三角形的内角和是$180^{\circ}$可知，$∠4+∠5+∠6=180^{\circ}$。
又因为$∠1+∠4=180^{\circ}$，$∠2+∠5=180^{\circ}$，$∠3+∠6=180^{\circ}$，所以$∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=540^{\circ}$。
那么$∠1+∠2+∠3=540^{\circ}-(∠4+∠5+∠6)=540^{\circ}-180^{\circ}=360^{\circ}$。
由此可知，三角形的外角和是$360^{\circ}$。同理可得，四边形、五边形和六边形的外角和都是$360^{\circ}$。