《2025年点拨训练九年级数学下册人教版河北专版》

1. 已知反比例函数$y = \frac{b}{x}(b\neq0)$的图象如图所示，则一次函数$y = cx - a(c\neq0)$和二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）

答案： D

2. 已知函数$y_{1}=x(x\geqslant0)$，$y_{2}=\frac{4}{x}(x ＞ 0)$的图象如图所示，以下结论：
①两函数图象的交点$A$的坐标为$(2,2)$；
②当$x ＞ 2$时，$y_{1}＞y_{2}$；③图中$BC = 2$；
④两函数图象构成的图形是轴对称图形；
⑤$y_{1}$随着$x$的增大而增大，$y_{2}$随着$x$的增大而减小.
其中正确结论的序号是__________.

答案： ①②④⑤

3. [2023攀枝花中考]如图，在平面直角坐标系中，直线$y=\frac{1}{3}x$与反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象在第一、三象限分别交于$A$，$B$两点，已知点$B$的纵坐标是$-2$.
(1)求点$A$的坐标及反比例函数的解析式；
(2)将直线$y=\frac{1}{3}x$沿$y$轴向上平移5个单位长度后得到直线$l$，$l$与反比例函数图象在第一象限内交于点$C$，与$y$轴交于点$D$.
（ⅰ）$S_{\triangle ABC}$______$S_{\triangle ABD}$；（填“＜”“=”或“＞”）
（ⅱ）求$\triangle ABC$的面积.

答案： 解：
(1)
∵点B的纵坐标是－2，点B在直线$y = \frac{1}{3}x$上，
∴－2 = $\frac{1}{3}x$，
∴$x = - 6$，
∴$B( - 6, - 2)$.
把点$B( - 6, - 2)$的坐标代入$y = \frac{k}{x}$，得$k = 12$，
∴反比例函数的解析式为$y = \frac{12}{x}$.
联立得$\begin{cases}y = \frac{12}{x}\\y = \frac{1}{3}x\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 6\\y = 2\end{cases}$或$\begin{cases}x = - 6\\y = - 2\end{cases}$.
∵点A在第一象限，
∴$A(6,2)$.
(2)(ⅰ)=
(ⅱ)由题意得$OD = 5$，
∴$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle BOD}+S_{\triangle AOD}=\frac{1}{2}OD\cdot|x_{B}|+\frac{1}{2}OD\cdot|x_{A}|=\frac{1}{2}\times5\times| - 6|+\frac{1}{2}\times5\times|6| = 30$，
∴$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}=30$.

4. [2023兰州中考]如图，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x ＜ 0)$与一次函数$y = - 2x + m$的图象交于点$A(-1,4)$，$BC\perp y$轴于点$D$，分别交反比例函数与一次函数的图象于点$B$，$C$.
(1)求反比例函数$y=\frac{k}{x}$与一次函数$y = - 2x + m$的解析式；
(2)当$OD = 1$时，求线段$BC$的长.

答案： 解：
(1)
∵反比例函数$y = \frac{k}{x}(x\lt0)$的图象经过点$A( - 1,4)$，
∴$k = - 1\times4 = - 4$，
∴反比例函数的解析式为$y = - \frac{4}{x}(x\lt0)$.
∵一次函数$y = - 2x + m$的图象经过点$A( - 1,4)$，
∴$4 = - 2\times( - 1)+m$，
∴$m = 2$，
∴一次函数的解析式为$y = - 2x + 2$.
(2)
∵$OD = 1$，
∴$D(0,1)$.
∵$BC\perp y$轴，
∴点B，C的纵坐标都为1.
在$y = - \frac{4}{x}$中，令$y = 1$，
则$x = - 4$，
∴$B( - 4,1)$.
在$y = - 2x + 2$中，令$y = 1$，则$1 = - 2x + 2$，
解得$x = \frac{1}{2}$，
∴$C(\frac{1}{2},1)$，
∴$BC=\frac{1}{2}-( - 4)=4\frac{1}{2}$.