《2025年点拨训练九年级数学下册人教版河北专版》

8. [2024唐山期末]如图，在正方形网格中，△ABC与△FDE位似，则下列说法正确的是(　　　)

A. 位似中心是点D
　B. 位似中心是点G
C. 相似比为2∶1　　
　D. 相似比为1∶2

答案： C

9. [2023石家庄裕华区三模]如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，△ABC的位似图形是_______（用图中字母表示），△ABC与该三角形的相似比为_______.

答案： △GEH;$\frac{1}{2}$

10. [2024合肥二模]如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC.
(1)以点C为位似中心，将△ABC在网格中放大到原来的2倍，得到△A1B1C. 点A，B的对应点分别是点A1，B1，画出△A1B1C;
(2)以点B1为旋转中心，将线段A1B1逆时针旋转90°，得到线段A2B1，画出线段A2B1;
(3)填空：∠CB1A2＝_______°.

答案：
解:
(1)如图，△A₁B₁C即为所求.
　　　　　　　
(2)如图，线段A₂B₁即为所求.　　
(3)45

11. [新考向新定义问题]在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称. 例如：如图①，先将△ABC以点A为位似中心缩小，得到△ADE，再将△ADE沿过点A的直线l翻折，得到△AFG，则△ABC和△AFG成自位似轴对称.
(1)如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC，CD⊥AB，垂足为D. 下列3对三角形：
①△ABC和△ACD；②△BAC和△BCD；③△DAC和△DCB. 其中成自位似轴对称的是_______.（填写所有符合要求的序号）
(2)在(1)答案最大序号图形中，AC＝3，BC＝4，若自位似轴对称变换的对称轴与CD交于点E，则CE＝_______.
(3)如图③，在△ABC中，D是BC的中点，E为△ABC内一点，若∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，连接DE，求证：DE//AC.

答案：

(1)①②
(2)$\frac{4}{3}$　点拨:如图①，在BC上作BD′ = BD，在BA上作BC′ = BC，连接C′D′，与CD交于点E，连接BE，
　　易知，△BCD≌△BC′D′，BE所在直线为对称轴，
　
∴∠BD′C′ = ∠CDB.
　
∵CD⊥AB，
　
∴∠CDB = 90°.
　　　　　　　　　　　　　　
　
∴∠BD′C′ = 90°.
　
∴∠CD′E = 90°.
　
∵∠ECD′ = ∠BCD，∠CD′E = ∠CDB = 90°，
　
∴△CD′E∽△CDB.
　
∴$\frac{CE}{BC}=\frac{CD′}{CD}$.
　
∵AC = 3，BC = 4，∠ACB = 90°，
　
∴AB = $\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$.
　
∵$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，
∴$CD=\frac{12}{5}$.
　
∴$BD=\sqrt{BC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{4^{2}-(\frac{12}{5})^{2}}=\frac{16}{5}=BD′$.
　
∴$CD′ = BC - BD′ = 4-\frac{16}{5}=\frac{4}{5}$.
　
∵$\frac{CE}{BC}=\frac{CD′}{CD}$，
∴$\frac{CE}{4}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{12}{5}}$，解得$CE=\frac{4}{3}$.
(3)证明:如图②,
　　延长BE，交AC于点F，
　
∵∠ABE = ∠C，∠BAE = ∠CAD
　
∴△ABE∽△ACD，
　　　　　　　　　　　　　
　
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{AE}{AD}$，∠AEB = ∠ADC，
　
∴∠AEF = ∠ADB.
　
∵∠BAE = ∠CAD，
　
∴∠BAE + ∠DAE = ∠CAD + ∠DAE.
　　即∠BAD = ∠FAE.
∴△AEF∽△ADB，
　
∴$\frac{EF}{BD}=\frac{AE}{AD}$.
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{EF}{BD}$.
　
∵D是BC的中点，
∴CD = BD，
∴BE = EF，
∴DE//AC.