《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册冀教版》

8. (2024广东肇庆中学二模)二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图像如图所示,有以下结论:①$abc＞0$;②$a + b + c = 2$;③$b＞2a$;④$b＞1$.其中正确的有________.(填序号)

答案： 8 答案 ②④ 解析
∵ 抛物线开口向上，
∴$a>0$，
∵ 抛物线与$y$轴的交点在$y$轴的负半轴上，
∴$c<0$，
∵ 对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}<0$，
∴$b>0$，
∴$abc<0$，故①错误； 当$x = 1$时，$y = 2$，
∴$a + b + c = 2$，故②正确；
∵ 对称轴$x=-\frac{b}{2a}>-1$，$a>0$，
∴$b<2a$，故③错误； 当$x = -1$时，$y<0$，即$a - b + c<0$，
∵$a + b + c = 2$，
∴$a + c = 2 - b$，
∴$2 - 2b<0$，解得$b>1$，故④正确.

9. 新考向·新定义试题 一题多解(2024四川眉山中考,10,★★☆)定义运算:$a\otimes b=(a + 2b)(a - b)$,例如$4\otimes3=(4 + 2\times3)\times(4 - 3)$,则函数$y=(x + 1)\otimes2$的最小值为( )
A. -21
B. -9
C. -7
D. -5

答案： 9 B 由题意，得$y=(x + 1)\otimes2=(x + 1 + 2\times2)(x + 1 - 2)=(x + 5)(x - 1)=x^{2}+4x - 5$. 【解法一】配方法：$y = x^{2}+4x - 5=(x + 2)^{2}-9$，
∴ 函数$y=(x + 1)\otimes2$的最小值为$-9$. 【解法二】公式法：由解析式得$a = 1$，$b = 4$，$c=-5$，
∵$a = 1>0$，
∴ 函数有最小值，最小值是$\frac{4ac - b^{2}}{4a}=\frac{-20 - 16}{4}=-9$，
∴ 函数$y=(x + 1)\otimes2$的最小值为$-9$. 

10. 分类讨论思想(2024广东江门开平月考,19,★★☆)抛物线$y = x^{2}-(m + 2)x + 9$的顶点在坐标轴上,则$m$的值为____________.

答案： 10 答案 -2或4或-8 解析 ①当抛物线的顶点在$y$轴上时， $-\frac{-(m + 2)}{2\times1}=\frac{m + 2}{2}=0$，解得$m=-2$. ②当抛物线的顶点在$x$轴上时，$\frac{36-[-(m + 2)]^{2}}{4}=0$， 解得$m = 4$或$m=-8$. 综上所述，$m$的值为-2或4或-8. 

11. (2024河北廊坊三河期末,15,★★☆)若点$P(m,n)$在二次函数$y = x^{2}+2x + 2$的图像上,且点$P$到$y$轴的距离小于2,则$n$的取值范围是________.

答案： 11 答案 $1\leq n<10$ 解析
∵$y = x^{2}+2x + 2=(x + 1)^{2}+1$，
∴ 二次函数$y = x^{2}+2x + 2$的图像开口向上，顶点坐标为$(-1,1)$，对称轴是直线$x=-1$，
∵$P(m,n)$到$y$轴的距离小于2，

12. (2024山东滨州模拟,16,★★☆)已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图像如图所示.有以下5个结论:①$abc＜0$;②$4ac - b^{2}＞0$;③$b = -2a$;④$a - b + c＞0$;⑤对于任意实数$m$,总有$am^{2}+bm\leqslant a + b$.其中正确的是________.(填序号)(M9230003)

答案：
∴$-2∵$-1-(-2)<2-(-1)$，
∴="" 当$m="2$时，$n_{最大}=(2" +="" 1)^{2}+1="10$，当$m=-1$时，$n_{最小}=1$，
∴$n$的取值范围是$1\leq" n<10$.="" 12="" 答案="" ①③⑤="" 解析=""
∵="" 抛物线开口向下，
∴$a<0$，="" 抛物线与$y$轴交于正半轴，
∴$c="">0$，
∵ 抛物线的对称轴为直线$x = 1$，
∴$-\frac{b}{2a}=1$，
∴$b=-2a$，
∴$b>0$，
∴$abc<0$，故①③正确；
∵ 抛物线的顶点在$x$轴上方，
∴$\frac{4ac - b^{2}}{4a}>0$，
∵$a<0$，
∴$4ac - b^{2}<0$，故②错误；
∵ 当$x=-1$时，$y<0$，
∴$a - b + c<0$，故④错误； 当$x = 1$时，$y$有最大值，为$a + b + c$，
∴ 对于任意实数$m$，总有$am^{2}+bm + c\leq a + b + c$，即$am^{2}+bm\leq a + b$，故⑤正确.故答案为①③⑤. 

13. 应用意识(2024河北石家庄二十八中模拟)如图,$x$轴上依次有$A,B,D,C$四个点,且$AB = BD = DC = 2$,从点$A$处向右上方沿抛物线$y = -(x + 2)(x - 6)$发出一个带光的点$P$.(M9230002)
(1) 求点$A$的横坐标,且在图中补画出$y$轴.
(2) 通过计算说明点$P$是否会落在点$C$处,并补全抛物线.
(3) 求抛物线的顶点坐标和对称轴.
(4) 在$x$轴上从左到右有两点$E,F$,且$EF = 2$,从点$F$向上作$GF\perp x$轴,且$GF = 1$.在$\triangle GFE$沿$x$轴左右平移时,必须保证沿抛物线下落的点$P$能落在边$EG$(包括端点)上,直接写出点$G$横坐标的最大值与最小值.

答案：
13 解析
(1)已知抛物线$y=-(x + 2)(x - 6)$， 令$y = 0$，则$-(x + 2)(x - 6)=0$，解得$x=-2$或6，
∴$A(-2,0)$，
∴ 点$A$的横坐标为-2. 补画$y$轴如图所示.
(2)由
(1)可知抛物线与$x$轴的右交点坐标为$(6,0)$，
∵$A(-2,0)$，$AB = BD = DC = 2$，
∴$C(4,0)$，
∴ 点$P$不会落在点$C$处.补全抛物线如图所示.
(3)
∵$y=-(x + 2)(x - 6)=-(x - 2)^{2}+16$，
∴ 抛物线的顶点坐标为$(2,16)$，对称轴为直线$x = 2$.
(4)当$y = 1$时，$-(x + 2)(x - 6)=1$，解得$x = 2+\sqrt{15}$(负值舍去)，
∴ 抛物线经过点$(2+\sqrt{15},1)$， 在$Rt\triangle GFE$中，$\angle GFE = 90^{\circ}$，$EF = 2$，$FG = 1$，
∴ 当点$E$与$(6,0)$重合时，点$G$的横坐标的值最大，最大值为8，当点$G$与点$(2+\sqrt{15},1)$重合时，点$G$的横坐标的值最小，最小值为$2+\sqrt{15}$.