学习指要九年级数学人教版
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7.若关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}\frac{5}{2}x - 3\leq x\\x - 4＞a\end{array}\right.$无解，且关于x的一元二次方程$(a - 1)x^{2}+4x + 2=0$有两个不相等的实数根，则符合条件的所有整数a的和为（
A
）
A.-1
B.0
C.1
D.2
答案：A
解析：解不等式组$\left\{\begin{array}{l}\frac{5}{2}x - 3\leq x\\x - 4＞a\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x\leq2\\x＞a + 4\end{array}\right.$，无解则$a + 4\geq2$，即$a\geq - 2$。方程$(a - 1)x^{2}+4x + 2=0$为一元二次方程，$a\neq1$，$\Delta=16 - 8(a - 1)=24 - 8a＞0$，解得$a＜3$。综上，$-2\leq a＜3$且$a\neq1$，整数a为-2，-1，0，2，和为$-2-1 + 0 + 2=-1$
8.（2024 浑南期中）关于x的一元二次方程$x^{2}-4mx + 8m - 4=0$.
（1）求证：该方程始终有两个实数根；
（2）等腰三角形一边长为6，另外两边长是该方程的两个根，求这个等腰三角形的周长.
答案：（1）证明见解析；（2）14
解析：
（1）$\Delta=(-4m)^{2}-4×1×(8m - 4)=16m^{2}-32m + 16=16(m - 1)^{2}\geq0$，始终有两个实数根。
（2）若6为腰长，则方程一根为6，代入得$36 - 24m + 8m - 4=0$，解得$m = 2$，方程为$x^{2}-8x + 12=0$，另一根为2，周长为$6 + 6 + 2=14$。若6为底边，则方程有两个相等根，$\Delta=0$，$m = 1$，方程为$x^{2}-4x + 4=0$，根为2，$2 + 2＜6$，不成立，舍去。
综上，周长为14
21.2.3 因式分解法
新知梳理
配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于解某些一元二次方程.总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为两个一次方程，即
降次
.
答案：降次
解析：解一元二次方程的基本思路是降次，将二次方程化为一次方程。
探究一 用因式分解法解一元二次方程
例1 用因式分解法解下列方程：
（1）$x^{2}=x$；（2）$9x^{2}-6x + 1=0$；（3）$(x + 3)^{2}-4(x - 2)^{2}=0$；（4）$(4x - 3)^{2}=12x - 9$.
答案：（1）$x_{1}=0$，$x_{2}=1$；（2）$x_{1}=x_{2}=\frac{1}{3}$；（3）$x_{1}=\frac{1}{3}$，$x_{2}=7$；（4）$x_{1}=\frac{3}{4}$，$x_{2}=\frac{3}{2}$
解析：
（1）$x^{2}-x=0$，$x(x - 1)=0$，$x = 0$或$x = 1$。
（2）$(3x - 1)^{2}=0$，$3x - 1=0$，$x=\frac{1}{3}$。
（3）$[(x + 3)-2(x - 2)][(x + 3)+2(x - 2)]=0$，$(-x + 7)(3x - 1)=0$，$x = 7$或$x=\frac{1}{3}$。
（4）$(4x - 3)^{2}-3(4x - 3)=0$，$(4x - 3)(4x - 6)=0$，$x=\frac{3}{4}$或$x=\frac{3}{2}$。
变式训练 用因式分解法解下列方程：
（1）$x(x - 3)=0$；（2）$x^{2}+5x=0$；（3）$3x(x - 2)=2(2 - x)$；（4）$9x^{2}-12x + 4=0$.
答案：（1）$x_{1}=0$，$x_{2}=3$；（2）$x_{1}=0$，$x_{2}=-5$；（3）$x_{1}=2$，$x_{2}=-\frac{2}{3}$；（4）$x_{1}=x_{2}=\frac{2}{3}$
解析：
（1）$x = 0$或$x - 3=0$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=3$。
（2）$x(x + 5)=0$，$x = 0$或$x + 5=0$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=-5$。
（3）$3x(x - 2)+2(x - 2)=0$，$(x - 2)(3x + 2)=0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=-\frac{2}{3}$。
（4）$(3x - 2)^{2}=0$，$3x - 2=0$，解得$x_{1}=x_{2}=\frac{2}{3}$。
练习 （1）方程$x^{2}-25=0$的解为
$x_{1}=5$，$x_{2}=-5$
；（2）方程$25x^{2}+20x + 4=0$的解为______
$x_{1}=x_{2}=-\frac{2}{5}$
.
答案：（1）$x_{1}=5$，$x_{2}=-5$；（2）$x_{1}=x_{2}=-\frac{2}{5}$
解析：
（1）$(x - 5)(x + 5)=0$，解得$x_{1}=5$，$x_{2}=-5$。
（2）$(5x + 2)^{2}=0$，解得$x_{1}=x_{2}=-\frac{2}{5}$。
