学习指要九年级数学人教版
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21.2.2 公式法 新知梳理 1.一般地，式子$b^{2}-4ac$叫做方程$ax^{2}+bx + c=0(a\neq0)$的根的
判别式
，通常用希腊字母$\Delta$表示它，即$\Delta=b^{2}-4ac$。当$\Delta＞0$时，方程有两个
不相等
的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个
相等
的实数根；当$\Delta＜0$时，方程
没有
实数根.
答案：判别式；不相等；相等；没有
2.$x=$
$\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
叫做一元二次方程$ax^{2}+bx + c=0(a\neq0)$的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫做
公式法
.
答案：$\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$；公式法
思考 公式法与配方法之间有着怎样的关系？一元二次方程解的情况由什么来决定？
答案：公式法是配方法的一般化和公式化；一元二次方程解的情况由判别式$\Delta=b^{2}-4ac$决定。
练习 (1)一元二次方程$a^{2}-4a - 7=0$的解为
$a_{1}=2 + \sqrt{11}$，$a_{2}=2 - \sqrt{11}$
；
答案：$a_{1}=2 + \sqrt{11}$，$a_{2}=2 - \sqrt{11}$；解析：$a=\frac{4\pm\sqrt{16 + 28}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{44}}{2}=\frac{4\pm2\sqrt{11}}{2}=2\pm\sqrt{11}$。
(2)一元二次方程$x^{2}+x - 2=0$的根的情况是
有两个不相等的实数根
。(填“有两个不相等的实数根”“有两个相等的实数根”或“没有实数根”)
答案：有两个不相等的实数根；解析：$\Delta=1 + 8=9＞0$，所以有两个不相等的实数根。
探究一 用公式法解一元二次方程 例1 用公式法解下列方程: (1)$x^{2}-3x - 4=0$;
答案：$x_{1}=4$，$x_{2}=-1$；解析：$a=1$，$b=-3$，$c=-4$，$\Delta=9 + 16=25$，$x=\frac{3\pm5}{2}$，解得$x_{1}=4$，$x_{2}=-1$。
(2)$2x^{2}-3x - 1=0$.
答案：$x_{1}=\frac{3 + \sqrt{17}}{4}$，$x_{2}=\frac{3 - \sqrt{17}}{4}$；解析：$a=2$，$b=-3$，$c=-1$，$\Delta=9 + 8=17$，$x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}$。
变式训练 (1)在用求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$解一元二次方程时，小颖同学正确地代入了a，b，c，得到$x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^{2}-4×2×(-1)}}{2×2}$，则她求解的一元二次方程是(
B
)
A.$2x^{2}+3x - 1=0$
B.$2x^{2}-3x - 1=0$
C.$-2x^{2}-3x + 1=0$
D.$3x^{2}-2x - 1=0$
答案：B；解析：由求根公式可知$-b=3$，$a=2$，$c=-1$，所以$b=-3$，方程为$2x^{2}-3x - 1=0$，选B。
(2)用公式法解下列方程: ①$2x^{2}-5x + 3=0$;
答案：$x_{1}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=1$；解析：$a=2$，$b=-5$，$c=3$，$\Delta=25 - 24=1$，$x=\frac{5\pm1}{4}$，解得$x_{1}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=1$。
②$3x=2x^{2}-1$.
答案：$x_{1}=\frac{3 + \sqrt{17}}{4}$，$x_{2}=\frac{3 - \sqrt{17}}{4}$；解析：整理得$2x^{2}-3x - 1=0$，$a=2$，$b=-3$，$c=-1$，$\Delta=9 + 8=17$，$x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}$。
探究二 一元二次方程根的判别式 例2 (1)不解方程，判断一元二次方程$x^{2}-2x=3$的根的情况是(
A
)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
答案：A；解析：方程整理得$x^{2}-2x - 3=0$，$\Delta=4 + 12=16＞0$，有两个不相等的实数根，选A。
(2)(2024 夏邑模拟)若关于x的一元二次方程$kx^{2}-2x + 3=0$有两个实数根，则k的取值范围是(
D
)
A.$k＜\frac{1}{3}$
B.$k\leq\frac{1}{3}$
C.$k＜\frac{1}{3}$且$k\neq0$
D.$k\leq\frac{1}{3}$且$k\neq0$
答案：D；解析：因为方程有两个实数根，所以$\Delta=4 - 12k\geq0$且$k\neq0$，解得$k\leq\frac{1}{3}$且$k\neq0$，选D。
