Question

【题目】已知二次函数 （ 是常数）．
（1）求证：不论 为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图象沿 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与 轴只有一个公共点？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△=（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）=4m2﹣4m2﹣12=﹣12＜0

∴方程x2﹣2mx+m2+3=0没有实数解， 即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；

（2）解：y=x2﹣2mx+m2+3=（x﹣m）2+3，

∴把函数y=x2﹣2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．

【解析】（1）根据△=b2-4ac＞0方程有两个不相等的两个实数根，△=0，方程有两个相等的实数根，△＜0，方程没有实数根；由△=（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）=4m2﹣4m2﹣12=﹣12＜0，得到方程x2﹣2mx+m2+3=0没有实数解， 即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）根据顶点式得到把函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．