Question

【题目】BD、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，P在BD的延长线上，且BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB,

求证：（1）AP=AQ ；

（2）AP⊥AQ．

Answer 1

【答案】详见解析

【解析】

（1）由于BD⊥AC，CE⊥AB，可得∠ABD=∠ACE，又有对应边的关系，进而得出△ABP≌△QCA;

（2）在（1）的基础上，证明∠PAQ=90°即可．

解：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB（已知），

∴∠BEC=∠BDC=90°，∠ABD+∠BAC=90°，∠ACE+∠BAC=90°

∴∠ABD=∠ACE

在△ABP和△QCA中

∵

∴△ABP≌△QCA（SAS）

∴AP=AQ

（2）由（1）可得∠CAQ=∠P

∵BD⊥AC（已知），即∠P+∠CAP=90°

∴∠CAQ+∠CAP=90°，

即∠QAP=90°，

∴AP⊥AQ

考点: 全等三角形的判定与性质．