Question

【题目】要利用28米长的篱笆和一堵最大可利用长为12米的墙围成一个如图1的一边靠墙的矩形养鸡场，在围建的过程中遇到了以下问题，请你帮忙来解决．

（1）这个矩形养鸡场要怎样建面积能最大？求出这个矩形的长与宽；
（2）在（1）的前提条件下，要在墙上选一个点P，用不可伸缩的绳子分别连接BP，CP，点P取在何处所用绳子长最短？
（3）仍然是矩形养鸡场面积最大的情况下，若把（2）中的不可伸缩的绳子改为可以伸缩且有弹性的绳子，点P可以在墙上自由滑动，求sin∠BPC的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设这个矩形的长为x米（0＜x≤12），则宽为 米，

根据矩形的面积公式可知S=x =﹣ （x﹣14）2+98，

∵0＜x≤12，在此区间内面积S关于长x的函数单调递增，

∴当x=12时，S取最大值，S最大=96，

此时 =8．

故把整堵墙壁都用起来，矩形长为12米，宽为2米时矩形养鸡场的面积最大

（2）

解：作点C关于AD的对称点C′，连接BC′交AD于点P，连接PC，如图一所示．

∵点C、C′关于AD对称，

∴PC=PC′，

∴PB+PC=PB+PC．

由三角形内两边之和大于第三边可知：当B、P、C′共线时PB+PC最小．

∵AD∥BC，

∴△C′PD∽△C′BC，

∴ = ，

∴PD= BC，即P为AD的中点．

此时C′B= =20（米）．

故当点P选在AD中点处时，需要的绳子最短，最短绳长为20米

（3）

解：作一个圆，使该圆经过B、C点且和AD相切，如图二所示．

任取线段AD上一点P，连接BP、CP，令CP与圆交于点G，连接BG．

∵∠BGC=∠BPC+∠PBG，

∴∠BPC≤∠BGC．

当P、G两点重合时取等号，此时点P为AD的中点．

∵AD=12，AB=8，

∴AP=6，

由勾股定理得：BP= =10，

∵△PBC的面积S= BPCPsin∠BPC= ×10×10sin∠BPC= BCAB= ×12×8，

∴sin∠BPC= ．

故sin∠BPC的最大值为

【解析】（1）设这个矩形的长为x米（0＜x≤12），则宽为 米，根据矩形的面积=长×宽，即可得出面积S关于长x之间的函数关系式，由二次函数在x的取值范围内的单调性即可得出结论；（2）作点C关于AD的对称点C′，连接BC′交AD于点P，连接PC，由三角形中两边之和大于第三边可知，当B、P、C′共线时PB+PC最小，根据相似三角形的性质即可得出P点在AD中点时，用的绳子最短，求出此时C′B的长度即可；（3）作一个圆，使该圆经过B、C点且和AD相切，由外角知识及圆周角定理可知∠BPC≤∠BGC（P、G重合时取等号），根据三角形的面积公式即可算出取最大值时sin∠BPC的值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解轴对称-最短路线问题的相关知识，掌握已知起点结点，求最短路径；与确定起点相反，已知终点结点，求最短路径；已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；求图中所有最短路径．