Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+6x与x轴交于点O，A，顶点为B，动点E在抛物线对称轴上，点F在对称轴右侧抛物线上，点C在x轴正半轴上，且EF OC，连接OE，CF得四边形OCFE．

（1）求B点坐标；
（2）当tan∠EOC= 时，显然满足条件的四边形有两个，求出相应的点F的坐标；
（3）当0＜tan∠EOC＜3时，对于每一个确定的tan∠EOC值，满足条件的四边形OCFE有两个，当这两个四边形的面积之比为1：2时，求tan∠EOC．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=﹣x2+6x=﹣（x﹣3）2+9，

∴B（3，9）

（2）

解：抛物线的对称轴为直线x=3，直线x=3交x轴于H，如图，

∵tan∠EOC= ，即tan∠EOH= ，

∴ = ，

∴EH=4，

∴E点坐标为（3，4）或（3，﹣4），

当y=4时，﹣（x﹣3）2+9=4，解得x1=3﹣ （舍去），x2=3+ ，

当y=﹣4时，﹣（x﹣3）2+9=﹣4，解得x1=3﹣ （舍去），x2=3+ ，

∴F点坐标为（3+ ）或（3+ ，﹣4）

（3）

解：如图，∵平行四边形OEFC和平行四边形OE′F′C′等高，

∴这两个四边形的面积之比为1：2时，OC′=2OC，

设OC=t，则OC′=2t，

∴F点的横坐标为3+t，F′点的横坐标为3+2t，

而点F和F′的纵坐标互为相反数，

∴﹣（3+t﹣3）2+9+[﹣（3+2t﹣3）2+9]=0，解得t1= ，t2=﹣ （舍去），

∴F点坐标为（3+ ， ），

∴E（3， ），

∴tan∠EOC= = ．

【解析】（1）利用配方法把一般式配成顶点式即可得到B点坐标；（2）抛物线的对称轴为直线x=3，直线x=3交x轴于H，如图，利用正切定义可计算出EH，从而得到E点坐标为（3，4）或（3，﹣4），然后分别计算函数值为4和﹣4所对应的自变量的值即可得到满足条件的F点的坐标；（3）如图，利用平行四边形OEFC和平行四边形OE′F′C′等高得到OC′=2OC，则可设OC=t，则OC′=2t，于是得到F点的横坐标为3+t，F′点的横坐标为3+2t，然后利用点F和F′的纵坐标互为相反数可列方程﹣（3+t﹣3）2+9+[﹣（3+2t﹣3）2+9]=0，解方程求出t的值，则可得到F点的坐标，从而得到E点坐标，最后利用正切的定义求解．