Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线l1与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，l1的解析式为y= x2﹣2，若将抛物线l1平移，使平移后的抛物线l2经过点A，对称轴为直线x=﹣6，抛物线l2与x轴的另一个交点是E，顶点是D，连结OD，AD，ED．

（1）求抛物线l2的解析式；
（2）求证：△ADE∽△DOE；
（3）半径为1的⊙P的圆心P沿着直线x=﹣6从点D运动到F（﹣6，0），运动速度为1单位/秒，运动时间为t秒，⊙P绕着点C顺时针旋转90°得⊙P1 ， 随着⊙P的运动，求P1的运动路径长以及当⊙P1与y轴相切的时候t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设抛物线l2的解析式为y= （x+a）2+c，

∵抛物线l2的对称轴为x=﹣6，

∴a=6．

令l1的解析式y= x2﹣2=0，

解得：x=±2．

∴A点的坐标为（﹣2，0），B点的坐标为（2，0）．

将点A（﹣2，0）代入l2的解析式中，得 ×（﹣2+6）2+c=0，

解得：c=﹣8．

故抛物线l2的解析式为y= ﹣8

（2）

证明：令l2的解析式y= ﹣8=0，

解得x=﹣10，或x=﹣2，

故点E的坐标为（﹣10，0）．

由抛物线的对称性可知△ADE为等腰三角形．

∵点O（0，0），点E（﹣10，0），点D（﹣6，﹣8），

∴OE=0﹣（﹣10）=10，OD= =10，

∴OE=OD，

即△OED为等腰三角形，

又∵∠DEA=∠OED，且两者均为底角，

∴△ADE∽△DOE

（3）

解：过点C作CN⊥DF于点N，根据题意画出图形如图所示．

点D旋转后到达D′处，点F旋转后到达F′处．

根据旋转的性质可知D′F′=DF，

∵点D（﹣6，﹣8），点F（﹣6，0），

∴P1的运动路径长为DF=8．

∵DF∥y轴，

∴D′F′∥x轴，

∴四边形NCMD′为平行四边，

∴D′M=NC．

∵l1的解析式为y= x2﹣2，

∴点C的坐标为（0，﹣2），

∴点N的坐标为（﹣6，﹣2），

∴NC=0﹣（﹣6）=6．

∵⊙P1的半径为1，

∴当D′P1=D′M±1时，⊙P1与y轴相切，

此时D′P1=5，或D′P1=7．

∵⊙P的运动速度为1单位/秒，

∴⊙P1的运动速度为1单位/秒，

∴运算时间为5秒或7秒

【解析】（1）设抛物线l2的解析式为y= （x+a）2+c，由抛物线l1的解析式，可求出点A的坐标，由抛物线l2的对称轴以及点A的坐标即可求出a、c的值，由此得出结论；（2）由抛物线的对称性可知△DAE为等腰三角形，由l2的解析式可得出D点、E点坐标，根据两点间的距离公式可求出OE=OD，由两等腰三角形一个底角相等即可得出△ADE∽△DOE；（3）由旋转的特性可知P1的运动路径长与P的运动路径长相等，由圆与直线相切可得出相切时D′P1的长度，由时间=路程÷速度即可得出结论．