Question

【题目】如图，点A的坐标为（﹣8，0），点P的坐标为 ，直线y= x+b过点A，交y轴于点B，以点P为圆心，以PA为半径的圆交x轴于点C．

（1）判断点B是否在⊙P上？说明理由．
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；并求抛物线与⊙P另外一个交点为D的坐标．
（3）⊙P上是否存在一点Q，使以A、P、B、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（﹣8，0）在直线y= x+b上，则有b=6，

∴点B（0，6），即OB=6，

在Rt△BOP中，由勾股定理得PB= ，则PB=PA，

∴点B在⊙P上

（2）

解：AC=2PA= ，则OC= ，点C ，

抛物线过点A、C，则设所求抛物线为y=a（x+8）（x﹣ ），代入点C ，则有a= ，

抛物线的解析式为y=﹣ x2﹣ x+6，

直线x= 是抛物线和圆P的对称轴，点B的对称点为D，由对称可得D

（3）

解：当点Q在⊙P上时，有PQ=PA= ，

如图1所示，假设AB为菱形的对角线，那么PQ⊥AB且互相平分，由勾股定理得PE= ，则2PE≠PQ，所以四边形APBQ不是菱形．

如图2所示，假设AB、AP为菱形的邻边，则AB≠AP，所以四边形APQB不是菱形．

如图3所示，假设 AB、BP为菱形的邻边，则AB≠BP，所以四边形AQPB不是菱形．

综上所述，⊙P上不存在点Q，使以A、P、B、Q为顶点的四边形．

【解析】（1）把A（﹣8，0）代入y= x+b得到点B（0，6），即OB=6，根据勾股定理即可得到结论；（2）AC=2PA= ，则OC= ，点C ，得到抛物线的解析式为y=﹣ x2﹣ x+6，直线x= 是抛物线和圆P的对称轴，于是得到结论；（3）当点Q在⊙P上时，有PQ=PA= ，如图1所示，假设AB为菱形的对角线，如图2所示，假设AB、AP为菱形的邻边，如图3所示，假设 AB、BP为菱形的邻边，于是得到结论．
【考点精析】掌握勾股定理的概念是解答本题的根本，需要知道直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．