Question

【题目】问题探究：
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．

（1）证明：AD=BE；
（2）求∠AEB的度数．
（3）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．（Ⅰ）请求出∠AEB的度数；（Ⅱ）判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，

∴∠ACB=∠DCE=60°，CA=CB，CD=CE，

∴∠ACD=∠BCE，

在△CDA和△CEB中，

，

∴△CDA≌△CEB，

∴AD=BE

（2）

解：∵△CDA≌△CEB，

∴∠CEB=∠CDA=120°，

又∠CED=60°，

∴∠AEB=120°﹣60°=60°

（3）

解：（Ⅰ）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，

∠ACB=∠DCE=90°，

∴AC=BC，CD=CE，

∠ACB=∠DCB=∠DCE﹣∠DCB，

即∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE，

∴AD=BE，∠BEC=∠ADC=135°．

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=135°﹣45°=90°；

（Ⅱ）AE=2CM+BE，

在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，

∴CM=DM=ME，

∴DE=2CM．

∴AE=DE+AD=2CM+BE

∴AE=2CM+BE

【解析】问题探究：（1）证明△CDA≌△CEB，根据全等三角形的性质解答；（2）根据全等三角形的性质得到∠CEB=∠CDA=120°，计算即可；
问题变式：（Ⅰ）证明△CDA≌△CEB，根据全等三角形的性质解答；（Ⅱ）根据全等三角形的性质、直角三角形的性质解答．