Question

【题目】如图，将边长为4的正方形OABC置于平面直角坐标系中，点P在边OA上从O向A运动，连接CP交对角线OB于点Q，连接AQ．
（1）求证：△OCQ≌△OAQ；
（2）当点Q的坐标为（ ， ）时，求点P的坐标；
（3）若点P在边OA上从点O运动到点A后，再继续在边AB上从A运动到点B，在整个过运动过程中，若△OCQ恰为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形OCBA是正方形，

∴OC=OA，∠COD=∠AOD=45°，

在△OCD和△OAD中 ，

∴△OCD≌△OAD（SAS），

（2）解：∵点Q的坐标为（ ， ），

∴OQ= ，

在正方形OABC中，BC∥OA，OC=BC=4，

∴OB=4 ，

∴BQ=OB﹣OQ= ，

∵BC∥OA，

∴△OQP∽△BQC，

∴ ，

∴ ，

∴OP=2，

∴P（2，0）；

（3）解：解：分为三种情况：

①OC=OD时，如图1，

∴OD=4，

∵OB=4 ，

∴BD=OB﹣OD=4 ﹣4，

∵∠BOC=45°，

∴∠OCP=67.5°，

∴点P在AB上，

∵OC∥AB，

∴△ODC∽△BDP，

∴ ，

∴ ，

∴BP=4 ﹣4，

∴AP=AB﹣BP=4﹣（4 ﹣4）=8﹣4 ，

∴P点的坐标是（4，8﹣4 ）；

②CD=OD时，如图2，

∵∠BOC=45°，

∴点D是OB的中点，

∴点P与点A重合，

∴P点的坐标是（4，0）；

③OC=CD时，

∴∠CDO=∠COD=45°．

∴∠OCD=90°，

∴点P和点B重合，

∴P点的坐标是（4，4）．

即满足条件的点P的坐标为（4，8﹣4 ）或（4，0）或（4，4）．

【解析】（1）根据正方形性质推出OC=OA，∠COD=∠AOD=45°，根据SAS证明三角形全等即可；（2）先求出OB，OQ，进而判断出△OQP∽△BQC，即可得出结论．（3）分为三种情况：①OC=OD时，②CD=OD时，③OC=CD时，根据等腰三角形性质和相似求出即可．
【考点精析】本题主要考查了等腰三角形的性质的相关知识点，需要掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）才能正确解答此题．