Question

【题目】如图，平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0，3)，点 B(，0)，连接 AB．若对于平 面内一点 C，当△ABC 是以 AB 为腰的等腰三角形时，称点 C 是线段 AB 的“等长点”

(1)在点 C1 (－2， )，点 C2 (0，－2)，点 C3 (， )中，线段 AB 的“等长点”是点______________；

(2)若点 D( m ， n )是线段 AB 的“等长点”，且∠DAB＝60，求 m 和 n 的值．

Answer 1

【答案】（1）C1 ，C3；（2）或.

【解析】试题分析：（1）利用勾股定理分别求出三角形的三条边长，判断是否是以AB为腰的等腰三角形；（2）分两类情况讨论：①当点D在y轴左侧时，②当点D在y轴右侧时，结合等长点的定义分别求出两种情况m、n的值即可.

试题解析：

解：(1) C1 (－2，3+2)，AO=3，BO=，

作C1D⊥x轴交于点D，作C1E⊥y轴交于点E，

∴C1D=3+2，C1E=2，

由勾股定理可得：AB=2，AC1=2，

∴C1是线段AB的等长点；

同理可证：C3是线段AB的等长点；

（2）如图1，

在Rt△AOB中，OA=3，OB=，

∴AB=2，tan∠OAB=，

∴∠OAB＝30°，

①当点D在y轴左侧时，

∵∠DAB＝60°，

∴∠DAO＝∠DAB－∠BAO= 30°，

∵点D( m，n )是线段AB的“等长点”，

∴AD=AB，

∴D（，0），

∴m=，n=0；

②当点D在y轴右侧时，

∵∠DAB＝60°，

∴∠DAO＝∠BAO+∠DAB= 90°，

∴n=3,

∵点D( m，n )是线段AB的“等长点”，

∴AD=AB=2，

∴m=2.

∴m=2，n=3.