Question

【题目】如图，点A（0，8），点B（4，0），连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，在射线MN上有一动点P．若△ABP是直角三角形，则点P的坐标是__．

Answer 1

【答案】（2+2，4）或（12，4）．

【解析】

如图，∠APB=90°，∠ABP=90°，∠BAP=90°均可以使△ABP是直角三角形，故本题应该对这三种情况分别进行讨论.

(1) ∠APB=90°，如图①.

过点P作PG⊥OB，垂足为G.

∵点A的坐标为(0, 8)，点B的坐标为(4, 0)，

∴OA=8，OB=4.

∴在Rt△AOB中， .

∵点M，N分别是OA，AB的中点，

∴MN∥OB， ， .

∵MN∥OB，PG⊥OB，

∴PG=OM=4.

设PN=x，则MP=MN+PN=2+x，

∵OG=MP=2+x，

∴BG=OG-OB=2+x-4=x-2.

∵在Rt△AMP中，AP2=AM2+PM2=42+(2+x)2=16+(2+x)2，

在Rt△BGP中，BP2=BG2+PG2=(x-2)2+42=(x-2)2+16，

又∵在Rt△APB中，AB2=AP2+BP2，

∴16+(2+x)2+(x-2)2+16==80.

∴x=，即PN=.

∵OG=2+x=，PG =4.

∴点P的坐标为(, 4).

(2) ∠ABP=90°，如图②.

过点P作PG⊥OB，垂足为G.

设PN=x，则MP=OG=2+x，BG=x-2.

∵，AM=4，PG=4，

又∵在Rt△AMP中，AP2=16+(2+x)2，

在Rt△BGP中，BP2=(x-2)2+16，

∴在Rt△APB中，AB2=AP2-BP2=16+(2+x)2-[(x-2)2+16]= =80.

∴x=10即PN=10.

∵OG=2+x=2+10=12，PG=4.

∴点P的坐标为(12, 4).

(3) ∠BAP=90°，如图③.

由图③可以看出，在此种情况下点P不在射线MN上，不符合题意.

综上所述，点P的坐标为(, 4)或(12, 4).

故本题应填写：(, 4)或(12, 4).