Question

【题目】在直线上顺次取 A，B，C 三点，分别以 AB，BC 为边长在直线的同侧作正三角形， 作得两个正三角形的另一顶点分别为 D，E．

(1)如图①，连结 CD，AE，求证：CD＝AE；

(2)如图②，若 AB＝1，BC＝2，求 DE 的长；

(3)如图③，将图②中的正三角形 BCE 绕 B 点作适当的旋转，连结 AE，若有 DE2＋BE2＝ AE2，试求∠DEB 的度数．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】试题分析：（1）由△ABD和△ECB都是等边三角形可得AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC=60°，所以∠ABE=∠DBC，所以△ABE≌△DBC，即可证明AE=DC；（2）

如图②中，取BE中点F，连接DF，由题意不难得出BF=EF=1=BD，再结合∠DBF=60°可得△DBF是等边三角形，进而推出∠EDB=90°，再由勾股定理可求出DE的长；（3）如图③中，连接DC，由已知条件不难证明△ABE≌△DBC，所以AE=DC，因为DE2+BE2=AE2，BE=CE，所以DE2+CE2=CD2，所以∠DEC=90°，因为∠BEC=60°，所以∠DEB=∠DEC－∠BEC=30°．

试题解析：

（1）证明：如图①中，

∵△ABD和△ECB都是等边三角形，
∴AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中，

，

∴△ABE≌△DBC，
∴AE=DC；
（2）如图②中，取BE中点F，连接DF，

∵BD=AB=1，BE=BC=2，∠ABD=∠EBC=60°，
∴BF=EF=1=BD，∠DBF=60°，
∴△DBF是等边三角形，
∴DF=BF=EF，∠DFB=60°，
∵∠BFD=∠FED+∠FDE，
∴∠FDE=∠FED=30°，
∴∠EDB=180°－∠DBE－∠DEB=90°，
∴DE=；
（3）如图③中，连接DC，

∵△ABD和△ECB都是等边三角形，
∴AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中，

，