Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．

（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AC⊥BD，

∴AE∥CD，∠AOB=90°，

∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，

∴∠AOB=∠EDB，

∴DE∥AC，

∴四边形ACDE是平行四边形

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，

∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，

∵四边形ACDE是平行四边形，

∴AE=CD=5，DE=AC=8，

∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18

【解析】（1）菱形的对角线互相垂直，对边平行得出AB∥CD，AC⊥BD，再根据已知DE⊥BD，从而证得DE∥AC，即可得出结论。
（2）要求△ADE的周长，根据已知就需求AD的长，根据菱形的性质，对角线互相垂直平分，在Rt△AOD中运用勾股定理求出AD的长，即可求出△ADE的周长。