Question

【题目】定义：有两条边长的比值为的直角三角形叫“潜力三角形”．如图，在△ABC中，∠B=90°，D是AB的中点，E是CD的中点，DF∥AE交BC于点F．

（1）设“潜力三角形”较短直角边长为a，斜边长为c，请你直接写出的值为　 　；

（2）若∠AED=∠DCB，求证：△BDF是“潜力三角形”；

（3）若△BDF是“潜力三角形”，且BF=1，求线段AC的长．

Answer 1

【答案】（1）2或；（2）证明见解析；（3）5或或或．

【解析】试题分析：（1）分两种情况：①当时，2；②设另一条直角边长为b，当时，b=2a，由勾股定理求出c=，得出；即可得出答案；

（2）延长AE交BC于G，由平行线的性质得出∠AED=∠CDF，BF=GF，再由已知得出∠CDF=∠DCB，证出DF=CF，由平行线得出CG=GF，得出BF=GF=CG，因此DF=CF=2GF=2BF，得出，即可得出结论；

（3）分四种情况：①当时；②当时；③当时；④当时；求出BC=3，分别求出AB的长，由勾股定理求出AC即可．

试题解析：（1）分两种情况：

①当时，2；

②设另一条直角边长为b，当时，b=2a，

∵∠B=90°，

∴c=，

∴；

（2）证明：延长AE交BC于G，如图所示：

∵DF∥AE，D是AB的中点，

∴∠AED=∠CDF，BF=GF，

∵∠AED=∠DCB，

∴∠CDF=∠DCB，

∴DF=CF，

∵DF∥AE，E是CD的中点，

∴CG=GF，

∴BF=GF=CG，

∴DF=CF=2GF=2BF，

∴，

又∵∠B=90°，

∴△BDF是“潜力三角形”；

（3）延长AE交BC于G，如图所示．

分四种情况：

①当时，

∵BF=1，

∴GF=CG=BF=1，BD=2，

∴AB=2BD=4，BC=3，

∴AC=；

②当时，DF=2BF=2，

∴BD=

∴AB=2BD=2，

∵BC=3，∠B=90°，

∴AC=；

③当时，BD=BF=，

∴AB=2BD=1，

∵BC=3，∠B=90°，

∴AC=；

④当时，

设BD=x，则DF=2x，

由勾股定理得：（2x）2﹣x2=12，

解得：x=，

∴AB=2BD=，

∵BC=3，∠B=90°，

∴AC=；

综上所述：若△BDF是“潜力三角形”，且BF=1，线段AC的长为5或或或．