Question

【题目】如图，点A的坐标为（﹣8，0），点P的坐标为（-，0），直线y=x+b过点A，交y轴于点B，以点P为圆心，以PA为半径的圆交x轴于点C．

（1）判断点B是否在⊙P上？说明理由．

（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；并求抛物线与⊙P另外一个交点为D的坐标．

（3）⊙P上是否存在一点Q，使以A、P、B、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】⑴点B在⊙P上,理由见解析;⑵抛物线的解析式为 ,D

⑶⊙P上不存在点Q，使以A、P、B、Q为顶点的四边形,理由见解析.

【解析】试题分析：（1）通过计算PB与PA是否相等即可做出判断；

（2）由圆的性质确定出点C的坐标，然后利用待定系数法即可解决；

（3）分AB为菱形的对角线， AB、AP为菱形的邻边，AB、BP为菱形的邻边， 三种情况进行讨论.

试题解析：⑴∵A(－8，0)在直线上，则有b＝6

∴点B（0，6），即OB＝6，

在Rt△BOP中，由勾股定理得PB＝，则PB＝PA，∴点B在⊙P上.

⑵AC＝2PA＝，则OC＝，点C，抛物线过点A、C，则设所求抛物线为，代入点C，则有a＝，

抛物线的解析式为，

直线x＝是抛物线和圆P的对称轴，点B的对称点为D，由对称可得D.

⑶当点Q在⊙P上时，有PQ＝PA＝，

如图1所示，假设AB为菱形的对角线，那么PQ⊥AB且互相平分，由勾股定理得PE＝，则2PE≠PQ，所以四边形APBQ不是菱形.

如图2所示，假设AB、AP为菱形的邻边，则AB≠AP，所以四边形APQB不是菱形.

如图3所示，假设 AB、BP为菱形的邻边，则AB≠BP，所以四边形AQPB不是菱形.

图1 图2 图3

综上所述，⊙P上不存在点Q，使以A、P、B、Q为顶点的四边形.