Question

【题目】如图1，在锐角△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，且BF=AC。求证：ED平分∠FEC。

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】分析：求出∠DBF=∠DAC，由AAS证明△BDF≌△ADC．得出对应边相等BD=AD，由等腰直角三角形的性质得出∠BAD=∠ABD=45°，证明A、B、D、E四点共圆，由圆周角定理得出∠BED=∠BAD=45°，得出∠CED=∠BED，即可得出结论.

本题解析：

∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠BDF=∠ADC=90°，∠AEB=∠FEC=90°，

∵∠DBF+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，

∴∠DBF=∠DAC，

在△BDF和△ADC中，

∴△BDF≌△ADC（AAS），

∴BD=AD，

∴∠BAD=∠ABD=45°，

∵∠AEB=∠ADB=90°，

∴A、B、D、E四点共圆，

∴∠BED=∠BAD=45°，

∴∠CED=90°-45°=45°=∠BED，

∴ED平分∠FEC。