Question

【题目】等边△ABC中，点E在AB上，点D在CA的延长线上，且ED=EC．试探索以下问题：

（1）如图1，当E为AB中点时，试确定线段AD与BE的大小关系，请你直接写出结论：AD BE；

（2）如图2，若点E为线段AB上任意一点，（1）中结论是否成立，若成立，请证明结论，若不成立，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）AD=BE；（2）证明见解析

【解析】分析：(1)根据题意易得∠D=∠AED=30°,即可得AD=AE,再根据AE=BE,即可解题;

(2)通过作EF∥AC构造等边三角形把BE转化为EF,再利用“角角边”易证△AED≌△FCE,可得AD=FE,即可解题.

本题解析：

（1）AD=BE；

（2）过点E作EF∥AC交BC于点F，

∴∠EFB=∠ACB，∠BEF=∠BAC，∠FEC=∠ECA，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=∠BAC=∠B=60°，

∴∠EFB=∠BEF=∠B=60°，

∴△BEF是等边三角形，

∴BE=EF，

∵ED=EC，

∴∠D=∠ECA，

∴∠D=∠FEC，

∵∠BFE=∠BAC=60°，

∴∠EAD=∠CFE=120°，

在△AED和△FCE中，

∴△AED≌△FCE（AAS），

∴AD=FE，

∴AD=BE。