Question

【题目】已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

Answer 1

【答案】详见解析

【解析】

过点C作CF⊥AD交AD的延长线于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE＝CF，根据同角的补角相等求出∠CDF＝∠B，然后利用“角角边”证明△CDF和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得DF＝BE，再利用“HL”证明Rt△ACF和Rt△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，然后根据AF＝AD＋DF等量代换即可得证．

证明：如图，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于F，

∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，

∴CE＝CF，

∵∠B＋∠ADC＝180°．

∠ADC＋∠CDF＝180°（平角定义），

∴∠CDF＝∠B，

在△CDF和△CBE中，

，

∴△CDF≌△CBE（AAS），

∴DF＝BE，

在Rt△ACF和Rt△ACE中，

，

∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），

∴AE＝AF，

∵AF＝AD＋DF，

∴AE＝AD＋BE．