Question

【题目】如图所示，是等腰直角三角形，，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点O，求证：.

Answer 1

【答案】详见解析

【解析】

∠ADC和∠BDE所在的三角形肯定不全等，那么本题需要作辅助线.△ABC是等腰直角三角形，常用的辅助线是作三线里面的一线.可发现要证全等，已包含两个条件需利用全等得到另一边对应相等.

证明：如图: 作CH⊥AB于H交AD于P，

∵在Rt△ABC中，AC=CB，∠ACB=90°，

∴∠CAB=∠CBA=45°.

∴∠HCB=90°-∠CBA=45°=∠CBA=45°.

又∵BC中点为D，

∴CD=BD.

又CH⊥AB，

∴CH=AH=BH.

又∵∠PAH+∠APH=90°，∠PCO+∠CPO=90°，∠APH=∠CPO

∴∠PAH=∠ECH，

在△APH与△CEH中有：

∠PAH=∠ECH，AH=CH，∠PHA=∠EHC，

∴△APH≌△CEH（ASA）.

∴PH=EH，

又PC=CH-PH，BE=BH-HE，

∴CP=EB.

∵△ACB是等腰直角三角形，

∴∠B=45°，即∠EBD=45°，CH⊥AB，

∴∠PCD=45°=∠EBD，

在△PDC与△EDB中有：

PC=EB，∠PCD=∠EBD，DC=DB，

∴△PDC≌△EDB（SAS）.

∴∠ADC=∠EDB.