Question

【题目】已知：在△ABC和△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，AC=DC，BC=EC，AB与DE相交于点F．

（1）如图1，求证AB=DE；

（2）如图2，连接CF，求证∠AFC=∠EFC；

（3）如图3，在（2）的条件下，当AF=EF时，连接BD，AE，延长CF交BD于点G，AE交CF于点H，若AE=8，BG=2，求线段GH的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2.

【解析】

（1）证明△ABC≌△DEC（SAS），可得结论；

（2）如图2，作垂线段CM和CN，证明△ACM≌△DCN（AAS），得CM=CN，根据角平分线的逆定理可得：∠AFC=∠EFC；

（3）如图3，先证明△AFC≌△EFC，得AC=EC=BC，再证明△ACH≌△CBG（AAS），得CG和CH的长，利用线段的差可得结论．

证明：（1）如图1，在△ABC和△DEC中，

∵，

∴△ABC≌△DEC（SAS），

∴AB=DE；

（2）如图2，过点C作CM⊥AB，CN⊥DE，垂足分别为M，N，

∵△ABC≌△DEC，

∴∠A=∠D，

在△ACM和△DCN中，

∵，

∴△ACM≌△DCN（AAS），

∴CM=CN，

∴∠AFC=∠EFC；

（3）如图3，∵AB=DE，AF=EF，

∴AB-AF=DE-EF，即BF=DF，

∵∠AFC=∠EFC，∠AFC=∠BFG，∠EFC=∠DFG，

∴∠BFG=∠DFG，

∴FG⊥BD

∴∠BGF=∠DGF=90°，

同理∠AHF=∠EHF=90°，AH=EH=AE=4，

在△AFC和△EFC中

∵

∴△AFC≌△EFC，

∴AC=EC，

∴AC=BC，

∵∠CBG+∠BCG=90°，∠ACH+∠BCG=90°，

∴∠CBG=∠ACH，

在△ACH和△CBG中，

∵，

∴△ACH≌△CBG（AAS），

∴CH=BG=2，CG=AH=4，

∴GH=CG-CH=4-2=2．