Question

【题目】如图①，在平面直角坐标系中，点A（0，3），点B（﹣3，0），点C（1，0），点D（0，1），连AB，AC，BD．

（1）求证：BD⊥AC；

（2）如图②，将△BOD绕着点O旋转，得到△B′OD′，当点D′落在AC上时，求AB′的长；

（3）试直接写出（Ⅱ）中点B′的坐标．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AB'=；（3）B'（﹣， ）．

【解析】试题分析：（1）延长BD交AC于M，由SAS证明△AOC≌△BOD，得出对应角相等，即可得出结论；

（2）作OF⊥AC于F，OE⊥AB′于E，由旋转的性质得出∠BOD=∠B′OD′=90°，OB=OB′，由矩形的性质得出OF=AE，求出点B（-3，0），得出OB=OA=OB′，证出AE=EB′，由勾股定理得出AC=，由三角形的面积求出OF=，得出AB'=2AE=2OF=即可；

（3）由待定系数法求出直线AC的解析式为y=-3x+3，得出直线OE的解析式为y=-3x，直线AB'的解析式为y=x+3，解方程组得出点E的坐标，设B'（a，b），由中点坐标公式即可得出答案．

试题解析：（1）证明：延长BD交AC于M，如图①所示：

∵点A（0，3），点B（﹣3，0），点C（1，0），点D（0，1），

∴OA=OB=3，OC=OD=1，

在△AOC和△BOD中， ，

∴△AOC≌△BOD（SAS），

∴∠OAC=∠OBD，

∵∠OAC+∠ACO=90°，

∴∠OBD+∠ACO=90°，

∴∠BMC=90°，

∴BD⊥AC；

（2）解：作OF⊥AC于F，OE⊥AB′于E，如图②所示：

∵将△BOD绕着点O旋转，得到△B′OD′，∠BOD=90°，

∴∠B′OD′=90°，OB=OB′，

∴四边形OFAE是矩形，

∴OF=AE，

∵点A（0，3），点B（﹣3，0），

∴OB=OA=OB′，

∵OE⊥AB′，

∴AE=EB′，

由勾股定理得：AC=，

由三角形的面积得：ACOF=OAOC，

∴OF===，

∴AB'=2AE=2OF=；

（3）解：设直线AC的解析式为y=kx+b，

根据题意得： ，

解得： ，

∴直线AC的解析式为y=﹣3x+3，

∵OE∥AC，AB'⊥AC，

∴直线OE的解析式为y=﹣3x，直线AB'的解析式为y=x+3，

解方程组得： ，

即E（﹣， ），

设B'（a，b），由中点坐标公式得： =﹣， ，

解得：a=﹣，b=，

∴B'（﹣， ）．