Question

【题目】如图，已知：在直角坐标系中，A（﹣2，4）B（﹣4，2）；A1、B1是A、B关于y轴的对称点；

（1）请在图中画出A、B关于原点O的对称点A2，B2（保留痕迹，不写作法）；并直接写出A1、A2、B1、B2的坐标．

（2）试问：在x轴上是否存在一点C，使△A1B1C的周长最小，若存在求C点的坐标，若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点A1、A2、B1、B2的坐标分别为（2，4），（4，2），（2，﹣4），（4，﹣2）；（2）存在．

【解析】

（1）如图，分别延长AO和BO，使A2O＝AO，B2O＝BO，从而得到点A2，B2，然后利用关于y轴对称和原点对称的点的坐标特征写出点A1、A2、B1、B2的坐标；

（2）连接A1B2交x轴于C，如图，利用点B1与B2关于x轴对称得到CB1＝CB2，利用两点之间线段最短得到此时CA1＋CB1的值最小，所以△A1B1C的周长最小，接着利用待定系数法求出直线A1B2的解析式为y＝3x＋10，然后求出直线与x轴的交点坐标即可．

解：（1）如图，点A2，B2为所作，点A1、A2、B1、B2的坐标分别为（2，4），（4，2），（2，﹣4），（4，﹣2）；

（2）存在．

连接A1B2交x轴于C，如图，

∵点B1与B2关于x轴对称，

∴CB1＝CB2，

∴CA1+CB1＝CA1+CB2＝A1B2，

此时CA1+CB1的值最小，则△A1B1C的周长最小，

设直线A1B2的解析式为y＝kx+b，

把A1（2，4），B2（4，﹣2）代入得，解得，

∴直线A1B2的解析式为y＝﹣3x+10，

当y＝0时，﹣3x+10＝0，解得x＝，

∴C点坐标为（，0）．