Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点(可以运动到点A和点B)，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．

(1) 如图1，①求证：AE＝DF； ②若EM=3，∠FEA=45°，过点M作MG⊥EF交线段BC于点G，请直接写出△GEF的的形状，并求出点F到AB边的距离；

（2）改变平行四边形ABCD中∠B的度数，当∠B=90°时，可得到矩形ABCD（如图2），请判断△GEF的形状，并说明理由；

（3）在(2)的条件下，取MG中点P，连接EP，点P随着点E的运动而运动，当点E在线段AB上运动的过程中，请直接写出△EPG的面积S的范围．

Answer 1

【答案】（1）FH=3； (2)等腰直角三角形，证明详见解析； （3） 1≤S≤2.

【解析】试题分析：

（1）①由已知条件易证△AME≌△DMF，从而可得AE=DF，ME=MF；②由ME=MF结合MG⊥EF于点M可得GE=GF，即可得到△GEF是等腰三角形；过点F作FN⊥BA的延长线于点N，结合∠FEA=45°可得△FEN是等腰直角三角形，即可由ME的长度求得FN的长度；

（2）过点G作GH⊥AD于点H，结合已知条件易证△AME≌△HGM，从而可得ME=MG，由此即可得到∠MEG=45°，结合（1）中所得可知△GEF是等腰三角形，由此可得△GEF此时是等腰直角三角形；

（3）由已知可得S=S△GME，由（2）可知△GME是等腰直角三角形，其面积为ME2，则由此可得S=ME2，结合在Rt△AME中，ME的长度随AE的长度的增大而增大即可求出S的取值范围了.

试题解析：

（1）①∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，

∴∠EAM=∠FDM，∠AEM=∠DFM，

∵点M是AD的中点，

∴AM=DM，

∴△AME≌△DMF，

∴AE=DF；

②∵△AME≌△DMF，

∴ME=MF，

又∵MG⊥EF于点M，

∴MG是EF的垂直平分线，

∴GE=GF，

∴△GEF是等腰三角形；

过点F作FN⊥BA的延长线于点N，则∠FNE=90°，

∵∠AEF=45°，EM=3，

∴△EFN是等腰直角三角形，EF=6，

∴FN=，即点F到AB的距离为；

（2）和（1）同理可得△GEF是等腰三角形，过点G作GH⊥AD于点H，

又∵四边形ABCD是矩形，GM⊥EF于点M，

∴∠GHA=∠GME=∠A=∠B=90°，

∴四边形ABGH是矩形，∠AME+∠GMH=90°，∠HGM+∠MGH=90°，

∴GH=AB=2，∠AME=∠HGM，

又∵AM=AD=2，

∴AM=GH，

∴△AME≌△HGM，

∴ME=GM，

∴△MGE是等腰直角三角形，

∴∠MEG=45°，

又∵GE=GF，

∴∠FGE=∠MEG=45°，

∴∠EGF=180°-45°-45°=90°，

∴△GEF是等腰直角三角形；

（3）如图3，由（2）可知△GEM是等腰直角三角形，

∴S△GME=EM2，

又∵点P是GM的中点，

∴S=S△GME= EM2=EM2，

∵在Rt△AME中，当AE=0时，ME最小=AM=2；当AE=AB=2时，ME最大=，

∴S最小=EM2=1，S最大=EM2=2，

∴S的取值范围为： .