Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的两个顶点A、B 的坐标分别A（ ，0）、B（ ，2），∠CAO=30°．

（1）求对角线AC所在的直线的函数表达式；
（2）把矩形OABC以AC所在的直线为对称轴翻折，点O落在平面上的点D处，求点D的坐标；
（3）在平面内是否存在点P，使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意得，OA=2 ，∠CAO=30°，

则OC=OAtan∠CAO=2，

即点C的坐标为（0，2），

设直线AC的解析式为：y=kx+b，将点A及点C的坐标代入得： ，

解得： ，

故直线AC的函数表达式为：y= x+2

（2）

解：过点D作DE⊥OA于点E，

∵∠CAO=30°，

∴∠DAE=60°，

又∵AD=AO=2 ，

∴DE=3，AE= ，

∴OE= ，

故点D的坐标为（﹣ ，3）

（3）

解：

①当AD为平行四边形的一边时，点P的位置有两个，分别为P1、P2，

当点P位于P1位置时，DP1=AO，

此时可得点P的坐标为（ ，3）；

当点P位于P2位置时，

∵OD=AD，△AOD是等边三角形，

∴点P2与点D关于x轴对称，

此时可得点P的坐标为（﹣ ，﹣3）；

②当AD为平行四年行的对角线时，点P的位置有一个，在P3的位置，

此时DP3=AO，

故可得点P的坐标为（﹣3 ，3）．

综上可得存在点P的坐标，使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为（ ，3）或（﹣ ，﹣3）或（﹣3 ，3）

【解析】（1）求出点C的坐标，利用待定系数法即可求出直线AC的函数表达式；（2）过点D作DE⊥OA于点E，利用三角函数的知识，求出DE及OE的长度，即可得出点D的坐标．（3）找到点P的可能位置，利用平行四边形对边相等的性质即可得出点P的坐标．
【考点精析】本题主要考查了确定一次函数的表达式的相关知识点，需要掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法才能正确解答此题．