Question

【题目】在中，，，，过点作直线，将绕点顺时针得到（点，的对应点分别为，），射线，分别交直线于点，.

（1）如图1，当与重合时，求的度数；

（2）如图2，设与的交点为，当为的中点时，求线段的长；

（3）在旋转过程时，当点分别在，的延长线上时，试探究四边形的面积是否存在最小值.若存在，求出四边形的最小面积；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）；（3）

【解析】（1）由旋转可得：AC=A'C=2，进而得到BC=，依据∠A'BC=90°，可得cos∠A'CB=，即可得到∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；

（2）根据M为A'B'的中点，即可得出∠A=∠A'CM，进而得到PB=BC=，依据tan∠Q=tan∠A=，即可得到BQ=BC×=2，进而得出PQ=PB+BQ=；

（3）依据S四边形PA'B′Q=S△PCQ-S△A'CB'=S△PCQ-，即可得到S四边形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小，而S△PCQ=PQ×BC=PQ，得到S△PCQ的最小值=3，S四边形PA'B′Q=3-．

（1）由旋转可得：AC=A'C=2，

∵∠ACB=90°，AB=，AC=2，

∴BC=，

∵∠ACB=90°，m∥AC，

∴∠A'BC=90°，

∴cos∠A'CB=，

∴∠A'CB=30°，

∴∠ACA'=60°；

（2）∵M为A'B'的中点，

∴∠A'CM=∠MA'C，

由旋转可得，∠MA'C=∠A，

∴∠A=∠A'CM，

∴tan∠PCB=tan∠A=，

∴PB=BC=，

∵tan∠Q=tan∠A=，

∴BQ=BC×=2，

∴PQ=PB+BQ=；

（3）∵S四边形PA'B′Q=S△PCQ-S△A'CB'=S△PCQ-，

∴S四边形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小，

∴S△PCQ=PQ×BC=PQ，

取PQ的中点G，则∠PCQ=90°，

∴CG=PQ，即PQ=2CG，

当CG最小时，PQ最小，

∴CG⊥PQ，即CG与CB重合时，CG最小，

∴CGmin=，PQmin=2，

∴S△PCQ的最小值=3，S四边形PA'B′Q=3-.