Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点M、N在边BC上，且∠MAN=60°．若BM=2，CN=4，则MN的长为_____．

Answer 1

【答案】2

【解析】

利用旋转作△APC，连接PC，根据旋转得：△ABM≌△ACP，PC=BM=2，证明△MAN≌△PAN，则MN=PN，作高线PD，利用勾股定理计算PD和PN的长，可得结论．

∵∠BAC=120°，AB=AC，

∴△ABM绕点A逆时针旋转120°至△APC，连接PN，

∴△ABM≌△APC，

∴∠B=∠ACP=30°，PC=BM=2，∠BAM=∠CAP，

∴∠NCP=60°，

∴∠CPD=30°.

∵∠MAN=60°，

∴∠BAM+∠NAC=∠NAC+∠CAP=60°=∠MAN，

∵AM=AP，AN=AN，

∴△MAN≌△PAN，

∴MN=PN，

过点P作BC的垂线，垂足为D，

∴CD=PC=1，DN=CN﹣CD=4﹣1=3，

∴PD=，

∴PN===2，

∴MN=PN=2．

故答案为：2．