Question

【题目】如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=AD，DG=DC，E，F分别是BG，AC的中点．

（1）求证：DE=DF，DE⊥DF；

（2）连接EF，若AC=2，求EF的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）EF=

【解析】

（1）由已知条件不难证明△ADC≌△BDG，可得BG=AC，∠CAD=∠GBD，由E，F分别是BG，AC的中点可得ED=BG，DF=AC，进而得出ED=DF=BE=EG=AF=CF，所以△BED≌△AFD，所以∠BDE=∠ADF，所以∠ADF+∠EDA=90°即DE⊥DF；（2）由AC的长度可得出DE、DF的长度，由勾股定理求出EF的长度即可.

（1）∵AD⊥BC，

∴∠ADC=∠BDG=90°，

∵在△ADC与△BDG中，

，

∴△ADC≌△BDG，

∴BG=AC，∠CAD=∠GBD，

∵AD⊥BC，E，F分别是BG，AC的中点，

∴BE=EG，AF=CF，ED=BG，DF=AC，

∴ED=DF=BE=EG=AF=CF，

∵在△BED与△AFD中，

，

∴△BED≌△AFD，

∴∠BDE=∠ADF，

∵∠BDE+∠EDA=90°，

∴∠ADF+∠EDA=90°，

∴DE⊥DF；

（2）连接EF，由（1）得△DEF为等腰直角三角形，

∵AC=2，

∴DE=DF=1，

∴EF==.