Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx﹣1（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点P在抛物线的对称轴上，当△ACP的周长最小时，求出点P的坐标；
（3）点N在抛物线上，点M在抛物线的对称轴上，是否存在以点N为直角顶点的Rt△DNM与Rt△BOC相似？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=ax2+bx﹣1（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，

∴

∴ ，

∴抛物线解析式为y= x2﹣ x﹣1= （x﹣ ）2﹣ ，

∴抛物线的顶点坐标为（ ，﹣ ）

（2）

解：如图1，

连接BC与抛物线对称轴的交点就是点P，连接AC，AP，

∵点A，B关于抛物线对称轴对称，

∴PA=PB，

∵B（2，0），C（0，﹣1），

∴直线BC解析式为y= x﹣1，

∵点P在抛物线对称轴上，

∴点P的横坐标为 ，

∴点P的纵坐标为﹣ ，

∴P（ ，﹣ ）

（3）

解：如图2，

过点作NF⊥DM，

∵B（2，0），C（0，﹣1），

∴OB=2，OC=1，

∴tan∠OBC= = ，tan∠OCB= =2，

设点N（m， m2﹣ m﹣1），

∴FN=|m﹣ |，FD=| m2﹣ m﹣1+ |=| m2﹣ m+ |，

∵Rt△DNM与Rt△BOC相似，

∴∠MDN=∠OBC，或∠MDN=∠OCB，

①当∠MDN=∠OBC时，

∴tan∠MDN= = ，

∴ =

∴m= （舍）或m= 或m=﹣ ，

∴N（ ， ）或（﹣ ， ），

②当∠MDN=∠OCB时，

∴tan∠MDN= =2，

∴ =2，

∴m= （舍）或m= 或m=﹣ ，

∴N（ ，﹣ ）或（﹣ ，﹣ ）；

∴符合条件的点N的坐标（ ， ）或（﹣ ， ）或（ ，﹣ ）或（﹣ ，﹣ ）

【解析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）确定出当△ACP的周长最小时，点P就是BC和对称轴的交点，利用两点间的距离公式计算即可？（3）作出辅助线，利用tan∠MDN=2或 ，建立关于点N的横坐标的方程，求出即可．此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线的对称性，三角函数，三角形周长的计算，绝对值方程，过点N作抛物线对称轴的垂线是解本题的关键也是难点．
【考点精析】本题主要考查了二次函数图象的平移和解直角三角形的相关知识点，需要掌握平移步骤：（1）配方 y=a(x-h)2+k，确定顶点（h,k）（2）对x轴左加右减；对y轴上加下减；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)才能正确解答此题．