Question

【题目】如图，平行四边形ABCD中，AD=9cm，CD=cm，∠B=45°，点M、N分别以A、C为起点，1cm/秒的速度沿AD、CB边运动，设点M、N运动的时间为t秒（0≤t≤6）

（1）求BC边上高AE的长度；

（2）连接AN、CM，当t为何值时，四边形AMCN为菱形；

（3）作MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，当t为何值时，四边形MPNQ为正方形．

Answer 1

【答案】（1）3cm；（2）当t为时，四边形AMCN为菱形；（3）当t为4.5或1.5秒时，四边形MPNQ为正方形

【解析】

（1）先由平行四边形的性质得出AB=CD=3cm．再解直角△ABE，即可求出AE的长度；
（2）先证明四边形AMCN为平行四边形，则当AN=AM时，四边形AMCN为菱形．根据AN=AM列出方程32+（6-t）2=t2，解方程即可；
（3）先证明四边形MPNQ为矩形，则当QM=QN时，四边形MPNQ为正方形．根据QM=QN列出方程|2t-6|=3，解方程即可．

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3cm．
在直角△ABE中，∵∠AEB=90°，∠B=45°，
∴AE=ABsin∠B=3× =3（cm）；
（2）∵点M、N分别以A、C为起点，1cm/秒的速度沿AD、CB边运动，设点M、N运动的时间为t秒（0≤t≤6），
∴AM=CN=t，
∵AM∥CN，
∴四边形AMCN为平行四边形，
∴当AN=AM时，四边形AMCN为菱形．
∵BE=AE=3，EN=|6-t|，
∴AN2=32+（6-t）2，
∴32+（6-t）2=t2，
解得t=．
所以当t为时，四边形AMCN为菱形；
（3）∵MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，QM∥NP，

∴四边形MPNQ为矩形，
∴当QM=QN时，四边形MPNQ为正方形．
∵AM=CN=t，BE=3，
∴AQ=EN=BC-BE-CN=9-3-t=6-t，
∴QM=AM-AQ=|t-（6-t）|=|2t-6|（注：分点Q在点M的左右两种情况），
∵QN=AE=3，
∴|2t-6|=3，
解得t=4.5或t=1.5．
所以当t为4.5或1.5秒时，四边形MPNQ为正方形．