Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、C两点，点A在点C的右边，与y轴交于点B，点B的坐标为（0，﹣3），且OB=OC，点D为该二次函数图象的顶点．

（1）求这个二次函数的解析式及顶点D的坐标；

（2）如图，若点P为该二次函数的对称轴上的一点，连接PC、PO，使得∠CPO=90°，请求出所有符合题意的点P的坐标；

（3）在对称轴上是否存在一点P，使得∠OPC为钝角，若存在，请直接写出点P的纵坐标为yp的取值范围，若没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，D（﹣1，﹣4）；（2）P（﹣1，）或（﹣1，﹣）；（3）当﹣＜yP＜且yP≠0时，∠OPC是钝角．

【解析】

（1）先求出点C坐标，最后用待定系数法即可得出结论；

（2）先利用同角的余角相等，判断出∠COP=∠CPQ，进而求出PQ，即可得出结论；

（3）借助（2）的结论和图形，即可得出结论．

（1）∵B（0，﹣3），∴OB=3．

∵OB=OC，∴OC=3，∴C（0，﹣3），∴，∴，∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3=﹣（x﹣1）2﹣4，∴D（﹣1，﹣4）；

（2）如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，设P（﹣1，p）．

∵∠COP+∠OPQ=90°，∠CPQ+∠OPQ=90°，∴∠COP=∠CPQ，∴tan∠COP=tan∠CPQ．在Rt△QOP中，tan∠COP=．在Rt△CPQ中，tan∠CPQ=，∴，∴PQ2=CQ×OQ=2（此处可以用射影定理，也可以判断出△CPQ∽△POQ）．

∵PQ＞0，∴PQ=，∴p=或p=﹣，∴P（﹣1，）或（﹣1，﹣）；

（3）存在这样的点P，理由：如图，由（2）知，yP=时，∠OPC=90°．

∵yP=0时，∠OPC是平角，∴当﹣＜yP＜且yP≠0时，∠OPC是钝角．