Question

【题目】已知λ∈R，函数f（x）=ex﹣ex﹣λ（xlnx﹣x+1）的导数为g（x）．
（1）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若函数g（x）存在极值，求λ的取值范围；
（3）若x≥1时，f（x）≥0恒成立，求λ的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：）f（x）=ex﹣ex﹣λ（xlnx﹣x+1）的定义域为（0，+∞）．

f′（x）=ex﹣e﹣λlnx，f′（1）=0，又f（1）=0．

曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=0

（2）解：∵g（x）=f′（x）=ex﹣e﹣λlnx，（x＞0），g′（x）=

函数g（x）存在极值，即方程 有正实数根，

λ=xex，（x＞0），

令G（x）=xex，G′（x）=x（ex+1）＞0在（0，+∞）恒成立．

x∈（0，+∞）时，G（x）＞0，

∴函数g（x）存在极值，λ的取值范围为（0，+∞）

（3）解：由（1）、（2）可知f（1）=0，f′（1）=g（1）=0

结合（2）x≥1时，g′（x）= ≥0，可得λ≤xex，（x≥1），

G（x）=xex，在（1，+∞）恒成立．

∴λ≤e时，g′（x）≥0，g（x）在[1，+∞）递增，g（x）≥g（1）=0

故f（x）在[1，+∞）递增，∴f（x）≥f（1）=0．

当λ＞e时，存在x0＞1，使g′（x）=0，∴x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，

即x∈（1，x0）时，g（x）递减，而g（1）=0，

∴x∈（1，x0）时，g（x）＜0，此时f（x）递减，而f（1）=0，

∴在（1，x0），f（x）＜0，故当λ＞e时，f（x）≥0不恒成立；

综上x≥1时，f（x）≥0恒成立，λ的最大值为e

【解析】（1）求出f′（x）=ex﹣e﹣λlnx，f′（1）=0，又f（1）=0，得到曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=0．（2）g（x）=f′（x）=ex﹣e﹣λlnx（x＞0），g′（x）= ，函数g（x）存在极值，即方程 有正实数根，λ=xex ， （x＞0），可得λ的取值范围．（3）由（1）、（2）可知f（1）=0，f′（1）=g（1）=0，结合（2）分λ≤e，λ＞e，讨论x≥1时，是否f（x）≥0恒成立，即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．