Question

【题目】已知， 四边形， 连接，，．

（1）如图， 求证：平分；

（2）如图，点在的延长线上，连接交于点，求证：；

（3）如图3，在的条件下，连接，点在延长线上，连接，延长与延长线交于点， 若，， 的面积与的面积比为， ，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）根据“SSS”可证△ABC≌△ADC，进而可得∠BAC=∠DAC，由此即可得证；

（2）过点F作FP⊥AB，FQ⊥AD，根据角平分线的性质可得FP=FQ，进而根据S△AEF:S△ADF=AE:AD=EF:DF即可得证；

（3）先根据，及可证得，再根据△EFC和△AFN的内角和可证得，进而可证得，再根据的面积与的面积比为结合可求得DN=AD=3，最后根据及求得FD的长，进而可求得FN的长．

（1）证明：在△ABC与△ADC中，

∴△ABC≌△ADC（SSS）

∴∠BAC=∠DAC，

∴平分；

（2）证明：如图，过点F作FP⊥AB，FQ⊥AD，垂足分别为点P、Q，

∵平分，FP⊥AB，FQ⊥AD，

∴FP=FQ，

∴S△AEF:S△ADF=AE·FP：AD·FQ= AE：AD，

设点A到DE的距离为h，

则S△AEF:S△ADF=EF·h：FD·h=EF：FD，

∴AE：AD=EF：FD；

（3）解：∵，

∴，

∵

∴，

∵，

∴

∴，

∵，

∴，

∵，

且，

∴

∴

∴

∵的面积与的面积比为

∴，

∴，

∵，

∴，，

∴

∵，

∴

，

∴

．